Использование адаптивной квази-линейной вязкоупругой модели для предсказания нагрузочно-разгрузочных режимов, релаксации напряжений и синусоидальной нагрузки порочной печени

Почему мягкость печени имеет значение

Когда вы резко тормозите в аварии или хирург натягивает орган во время операции, печень не ведёт себя как простая резинка. Она медленно растягивается, релаксирует и рассеивает энергию способами, которые сложно предсказать. В этом исследовании изучают, насколько хорошо распространённая математическая модель способна описать это сложное поведение на примере свиной печени, и задают на первый взгляд простой вопрос: являются ли параметры модели истинными материальными свойствами печени или они меняются в зависимости от того, как быстро и каким образом нагружают ткань?

Как учёные сейчас моделируют мягкие органы

Мягкие органы, такие как печень, являются вязкоупругими: они сопротивляются деформации подобно упругому телу, но также текут и релаксируют как вязкое тело. В течение десятилетий исследователи использовали семейства моделей, называемых квази-линейными вязкоупругими (QLV) моделями, чтобы описывать это поведение. Улучшенная версия — адаптивная квази-линейная вязкоупругая (AQLV) модель — представляет ткань комбинациями пружин и демпферов, чья реакция может изменяться с деформацией. Она привлекательна тем, что даёт аналитические формулы для типичных видов нагружения и может быть откалибрована по относительно простым тестам. Однако стандартный способ калибровки AQLV использует медленное растяжение с выдержкой, поэтому остаётся открытым вопрос, можно ли доверять тем же параметрам при намного более быстром нагружении печени, как это происходит при ударах или стремительных хирургических манипуляциях.

Испытание модели на практике

Авторы взяли параметры AQLV из предыдущих медленных испытаний на свиной печени и попросили модель предсказать результаты трёх очень разных экспериментов из отдельного исследования: быстрое растяжение с последующей выдержкой (релаксация напряжений), треугольный цикл нагрузка-разгрузка и синусоидальное попеременное нагружение на нескольких частотах. В каждом случае измеренная деформация из экспериментов подавалась в модель для генерации предсказанного напряжения, которое затем сравнивали с фактически зарегистрированными значениями. Изначально модель показала себя плохо: ошибки были велики, некоторые предсказания содержали невозможное отрицательное натяжение при разгрузке, а ключевые показатели энергии существенно расходились с экспериментом. Это означало, что исходный набор параметров, полученный при одном медленном темпе деформации, нельзя было просто перенести на другие сценарии нагружения.

Перенастройка модели для каждого вида нагружения

Чтобы углубиться, исследователи повторно откалибровали параметры AQLV отдельно для каждого режима нагружения, используя метод наименьших квадратов при сохранении структуры модели. После перенастройки модель почти идеально воспроизвела кривые быстрой релаксации напряжений — ошибки упали на несколько порядков; она также реалистично предсказала сам быстрый подъём нагрузки. Для циклов нагрузка-разгрузка перенастройка устранила артефакт с отрицательным напряжением и сблизила энергии при нагружении и разгрузке с экспериментальными значениями. При синусоидальном нагружении скорректированные параметры позволили модели соответствовать тому, как жесткой выглядит печень (модуль хранения), и сколько энергии она рассеивает (модуль потерь и тангенс потерь) в зависимости от частоты, с лишь незначительными расхождениями на самой высокой испытанной частоте. Важно, что закономерности изменений отдельных жёсткостей пружин и времён релаксации ясно показали: внутренние параметры систематически смещаются в зависимости от скорости деформации и частоты.

Можно ли одной калибровкой охватить множество ситуаций?

Команда затем проверила практический приём: можно ли откалибровать модель один раз в тесте с быстрым подъёмом и выдержкой и затем переиспользовать эти параметры для предсказания других, но схожих нагружений? Применение параметров, полученных в быстром подъёме-выдержке, для предсказания синусоидальных тестов с похожими средними скоростями деформации дало приемлемые результаты для упругой части отклика: модуль хранения оказался близок к экспериментальным значениям по всем частотам. Однако показатели, связанные с потерями энергии, особенно тангенс потерь, по‑прежнему существенно отличались. Использование того же набора параметров для циклов нагрузка-разгрузка приводило к большим ошибкам по напряжению и несоответствию энергий при нагружении и разгрузке, несмотря на то, что общая форма кривых была воспроизведена. Эти результаты указывают на то, что совпадение только средней скорости деформации недостаточно; имеет значение и точный временной профиль нагружения.

Что это значит для моделирования реальной ткани

В более широком смысле исследование показывает: параметры в AQLV-модели не являются фиксированными универсальными «отпечатками» печени. Напротив, они сильно зависят от того, как проводится тест — насколько быстро растягивают ткань, как долго её удерживают и является ли нагружение единичным импульсом, циклом или непрерывной осцилляцией. Модель способна хорошо описывать унияксиальное поведение печени после настройки под конкретный протокол, но не даёт одного универсального набора констант для всех случаев. Для приложений вроде моделирования аварий, планирования операций или разработки реалистичных тренажёров это означает: моделистам придётся либо перекалибровывать модель для каждого сценария нагружения, либо переходить на более продвинутые дробные вязкоупругие модели, которые лучше охватывают широкий диапазон временных масштабов одним набором параметров. Проще говоря, у печени нет одной «жёсткости» — её кажущаяся жёсткость меняется в зависимости от того, как вы её тычете, тянете или трясёте, и наши модели должны это учитывать.

Цитирование: Bittner-Frank, M., Aryeetey, O.J., Estermann, SJ. et al. Usage of the adaptive quasi-linear viscoelastic model to predict load-unload, stress-relaxation, and sine load of porcine liver. Sci Rep 16, 10675 (2026). https://doi.org/10.1038/s41598-026-45415-2

Ключевые слова: вязкоупругая печень, зависимость от скорости деформации, биомеханическое моделирование, механика мягких тканей, адаптивная квази-линейная вязкоупругость