基于斐波那契镶嵌的区板的聚焦性能

由自然图案塑造的光

许多自然图案，从向日葵的种子到海螺的纹路，都遵循著名的斐波那契数列。本研究采用相同的数学模式来设计一种新型微小光学器件，能够以高度可控的方式折射并聚焦光。这些结构称为基于斐波那契镶嵌的区板，通过在精心设计的方格中排列透明与不透明的小方块，可以制造出更清晰的显微镜、更优秀的成像系统以及用于精确操控激光束的工具。

为什么图案化的板件对现代光学至关重要

现代光学越来越依赖平面元件，这些元件通过衍射而不是透过厚重玻璃镜片来塑造光束。此类器件称为衍射光学元件，可以做得非常小并被定制以产生复杂的光分布。经典例子是夫琅和费衍射区板（Fresnel zone plate），由一系列交替的透明与不透明同心环组成以聚焦光。然而，传统设计常常把光浪费到不需要的次级光斑，产生噪声背景，降低图像对比度和精度。研究者因此转向斐波那契等数学序列以及其他非周期图案，以改进这些元件在空间上聚焦光的方式。

从简单数列到镶嵌光学整形器

斐波那契数列以0和1为起点，每一项均为前两项之和。作者从这个简单规则出发构建出由零和一组成的二元序列，然后通过巧妙的镶嵌方案将其扩展到二维。与同心环不同，他们的设计是一种由许多小矩形构成的方格，这些小矩形要么透明要么不透明。排列既不是像棋盘那样完全有规则，也不是完全随机。每一行和每一列遵循斐波那契基序列或其逻辑相反的序列，产生一种准周期图案：有序到能显现结构，但绝不会完全重复。这个镶嵌网格决定了板上每个位置允许通过的光强。

新型区板如何聚焦光

为了预测这种镶嵌区板如何聚焦光，研究团队使用标准波动光学方程计算了沿轴向和横向的光强分布。他们比较了三种设计：传统的夫琅和费区板、已知的由同心环构成的斐波那契区板以及他们的新型斐波那契镶嵌区板。两种斐波那契类区板都会自然地产生沿轴线的两个主要焦点，其位置通过黄金分割比紧密关联，反映了底层序列的特性。关键差别在于，新型镶嵌设计能强烈抑制许多微弱的、不需要的次级焦点。结果是更干净的能量分布：一个主要焦点、一个较弱的次要焦点以及在其他位置更少的杂散光。

将设计付诸实验验证

作者随后在实验室中用红色激光和可编程空间光调制器测试了他们的设计，空间光调制器可以电子方式显示镶嵌图案。通过在电动平台上移动的相机沿轴线捕捉光强，他们证实测得的焦点位置和强度与理论预测非常接近，仅有几百分比的差异。两个主要焦距的比值再次逼近黄金分割比，表明斐波那契镶嵌的数学特性直接体现在光的聚焦方式上。在主焦点处，横向光强形成一种具有两个臂的十字特征，这也是底层准周期网格的又一指纹。

这种新型区板的应用前景

由于斐波那契镶嵌区板在保持可控的双主焦点对的同时显著降低了背景光，它特别适用于对比度和能量精确放置比拥有两个等强焦点更重要的应用场景。其方形格栅几何天然适配诸如空间光调制器之类以矩形像素工作的大型器件，而主焦点处独特的十字形图案可作为内建对准标记或校准特征。简而言之，通过将斐波那契数列嵌入二维镶嵌中，作者创造了一种平面光学元件，提供更清洁的聚焦和有用的结构性标识，预计将在高精度成像、光束整形和光学计量等领域带来益处。

引用: Garmendía-Martínez, A., Pérez, F.M.M., Palacio, J.C.C. et al. Focusing performance of Fibonacci tiling-based zone plates. Sci Rep 16, 11061 (2026). https://doi.org/10.1038/s41598-026-40652-x

关键词: 衍射光学, 斐波那契数列, 区板, 光束整形, 准晶