Méthodes d'expansion hybrides pour des systèmes mathématiques non linéaires fractionnaires avec opérateurs dérivés d'Erdelyi‑Kober dans la théorie de la modélisation des ondes de tsunami

Ondes à longue mémoire

Des vagues océaniques gigantesques, comme les tsunamis, ne réagissent pas seulement à ce qui se passe à l'instant : elles conservent aussi une sorte de mémoire des événements antérieurs sur le fond marin et le long de leur parcours. Cet article explore comment capturer cette mémoire dans des modèles mathématiques pour les ondes en eau peu profonde. L'objectif des auteurs est de construire des outils capables de décrire l'évolution d'ondes de type tsunami de façon plus fidèle que les équations traditionnelles, sans pour autant prétendre prévoir directement des catastrophes réelles.

Pourquoi les équations d'onde usuelles sont insuffisantes

Les équations d'onde classiques traitent l'eau comme un système qui réagit instantanément et localement : ce qui se passe en un point dépend principalement des conditions à cet endroit et à cet instant. Les océans réels sont toutefois plus subtils. Les sédiments, les littoraux complexes et les perturbations durables font que le mouvement présent de l'eau est influencé par son comportement passé et par ce qui se produit à une certaine distance. Les mathématiciens qualifient ces effets d'interactions non locales et de mémoire. Pour en tenir compte, les chercheurs utilisent le calcul « fractionnaire », qui autorise des dérivées d'ordre non entier et intègre naturellement l'historique et l'influence à longue portée.

Un nouveau type de calcul pour la mer

Les auteurs se concentrent sur une famille particulière d'équations liées aux tsunamis connues sous le nom de système Whitham–Broer–Kaup (WBK), largement utilisé comme modèle idéalisé pour les vagues en eau peu profonde. Ils remplacent la dérivée temporelle usuelle dans ces équations par une dérivée fractionnaire d'Erdelyi–Kober, un opérateur spécialisé capable d'encoder à la fois des effets d'échelle et de mémoire. Concrètement, cette modification permet aux équations de se souvenir de l'évolution passée de la vague, plutôt que de ne réagir qu'à la poussée la plus récente. Le résultat est un modèle WBK « fractionnaire » dans lequel un paramètre clé contrôle l'intensité de l'influence des événements passés sur la forme actuelle de la vague.

Méthodes hybrides pour maîtriser des équations difficiles

Ces équations plus réalistes sont aussi plus difficiles à résoudre. Plutôt que de s'appuyer uniquement sur le calcul intensif, les auteurs construisent deux méthodes semi-analytiques qui combinent les avantages des développements en série et des corrections itératives. La première, appelée méthode itérative d'expansion nouvelle (ENIM), construit la solution pas à pas, améliorant de manière répétée une approximation initiale en tirant parti de la structure des équations et des opérateurs fractionnaires. La seconde, la méthode d'expansion par homotopie perturbative (EHPM), transforme progressivement un problème simple en le système fractionnaire complet et suit la déformation de la solution au cours de cette transition. Dans les deux cas, le profil de la vague et la vitesse horizontale de l'eau sont représentés comme des séries en puissances fractionnaires particulières dont les coefficients sont calculés à partir des propriétés des opérateurs d'Erdelyi–Kober.

Ce que révèlent les calculs sur des ondes de type tsunami

Pour tester leurs méthodes, les auteurs appliquent ENIM et EHPM à une version de référence du système WBK fractionnaire qui représente la dynamique des tsunamis en eau peu profonde. Lorsque l'ordre fractionnaire est réglé pour coïncider avec le cas classique (désactivant effectivement la mémoire), les deux méthodes reproduisent la solution exacte connue avec une grande précision ; EHPM produit systématiquement des erreurs plus faibles qu'ENIM, souvent d'environ deux fois moins importantes. Lorsque l'ordre fractionnaire est diminué sous la valeur classique, les ondes du modèle changent de caractère : elles deviennent plus lisses et plus diffusées, avec des pics atténués et des profils plus larges, reflétant des effets de mémoire et de dispersion renforcés. À mesure que l'ordre fractionnaire augmente vers la valeur classique, les vagues se resserrent et se comportent davantage comme des impulsions nettes familières se dirigeant vers le rivage.

Pourquoi cela compte pour la modélisation future des vagues

L'étude conclut que ces méthodes d'expansion hybrides sont des outils stables, efficaces et précis pour traiter des équations d'onde complexes intégrant la mémoire. Bien que les résultats ne visent pas à servir de prévisions directes pour des tsunamis réels, ils montrent comment les modèles fractionnaires peuvent faire la transition en douceur entre un comportement diffus, fortement dépendant de l'histoire, et des vagues plus nettes décrites par les équations traditionnelles. Cela en fait des éléments prometteurs pour de futures études mathématiques sur les phénomènes de type tsunami et d'autres systèmes où le passé continue de façonner le présent.

Citation: Damag, F.H., Saif, A., Alshammari, M. et al. Hybrid expansion methods for fractional non-linear mathematical systems with Erdelyi-Kober derivative operators in theory of tsunami wave modeling. Sci Rep 16, 10551 (2026). https://doi.org/10.1038/s41598-026-46268-5

Mots-clés: modélisation de tsunami, calcul fractionnaire, ondes en eau peu profonde, méthodes semi-analytiques, propagation d'ondes