Métodos híbridos de expansión para sistemas matemáticos fraccionarios no lineales con operadores derivativos de Erdelyi–Kober en la teoría de modelado de olas de tsunami

Ondas con memoria prolongada

Grandes olas oceánicas, como los tsunamis, no solo responden a lo que ocurre en el momento presente; también conservan una especie de memoria de lo que aconteció antes en el lecho marino y a lo largo de su recorrido. Este artículo explora cómo capturar esa memoria en modelos matemáticos de ondas de aguas poco profundas. Al hacerlo, los autores pretenden construir herramientas que describan la evolución de olas tipo tsunami con mayor fidelidad que las ecuaciones tradicionales, sin pretender predecir desastres reales de manera directa.

Por qué las ecuaciones ordinarias de ondas se quedan cortas

Las ecuaciones de onda estándar tratan el agua como un sistema que reacciona de forma instantánea y local: lo que ocurre en un punto depende principalmente de las condiciones allí y en ese momento. Los océanos reales, sin embargo, son más sutiles. Sedimentos, costas complejas y perturbaciones de larga duración implican que el movimiento presente del agua está influido por su comportamiento pasado y por lo que sucede a cierta distancia. Los matemáticos denominan estos efectos interacciones no locales y memoria. Para abordar esto, los investigadores emplean el cálculo “fraccionario”, que permite derivadas de orden no entero y, de forma natural, incorpora historia e influencias de largo alcance.

Un nuevo tipo de cálculo para el mar

Los autores se centran en una familia particular de ecuaciones relacionadas con tsunamis conocidas como el sistema Whitham–Broer–Kaup (WBK), muy utilizado como modelo idealizado para ondas en aguas poco profundas. Sustituyen la derivada temporal habitual en estas ecuaciones por una derivada fraccionaria de Erdelyi–Kober, un operador especializado que puede codificar tanto efectos de escala como de memoria. En términos cotidianos, esta modificación permite que las ecuaciones recuerden cómo ha evolucionado la ola a lo largo del tiempo, en lugar de reaccionar solo al impulso más reciente. El resultado es un modelo WBK “fraccionario” en el que un parámetro clave controla con qué intensidad los sucesos pasados influyen en la forma actual de la ola.

Métodos híbridos para domar ecuaciones difíciles

Estas ecuaciones más realistas son también más difíciles de resolver. En lugar de confiar únicamente en el cálculo por fuerza bruta, los autores construyen dos métodos semianalíticos que combinan las ventajas de las expansiones en series y las correcciones iterativas. El primero, denominado método iterativo de nueva expansión (ENIM), construye la solución paso a paso, mejorando repetidamente una conjetura inicial usando la estructura de las ecuaciones y los operadores fraccionarios. El segundo, el método de perturbación por homotopía con expansión (EHPM), transforma gradualmente un problema simple en el sistema fraccionario completo y sigue cómo se deforma la solución en ese proceso. En ambos casos, el perfil de la ola y la velocidad horizontal del agua se representan como series de potencias fraccionarias especiales cuyos coeficientes se calculan utilizando propiedades de los operadores de Erdelyi–Kober.

Lo que revelan los cálculos sobre olas tipo tsunami

Para probar sus métodos, los autores aplican ENIM y EHPM a una versión de referencia del sistema WBK fraccionario que representa la dinámica de tsunamis en aguas poco profundas. Cuando el orden fraccionario se ajusta para coincidir con el caso clásico (efectivamente desactivando la memoria), ambos métodos reproducen la solución exacta conocida con alta precisión; EHPM produce sistemáticamente errores menores que ENIM, frecuentemente alrededor de la mitad. Cuando el orden fraccionario se reduce por debajo del valor clásico, las ondas modeladas cambian de carácter: se vuelven más suaves y difusas, con picos más bajos y perfiles más amplios, reflejando efectos de mayor memoria y dispersión. A medida que el orden fraccionario aumenta hacia el valor clásico, las ondas se afilan y se comportan más como pulsos definidos y pronunciados que avanzan hacia la costa.

Por qué esto importa para el modelado futuro de olas

El estudio concluye que estos métodos híbridos de expansión son herramientas estables, eficientes y precisas para manejar ecuaciones de onda complejas que incluyen memoria. Si bien los resultados no están pensados como pronósticos directos de tsunamis reales, demuestran cómo los modelos fraccionarios pueden conectar de forma continua el comportamiento difusivo, fuertemente dependiente de la historia, con las ondas más nítidas descritas por las ecuaciones tradicionales. Esto los convierte en bloques constructivos prometedores para futuros estudios matemáticos de fenómenos tipo tsunami y otros sistemas donde el pasado sigue influyendo en el presente.

Cita: Damag, F.H., Saif, A., Alshammari, M. et al. Hybrid expansion methods for fractional non-linear mathematical systems with Erdelyi-Kober derivative operators in theory of tsunami wave modeling. Sci Rep 16, 10551 (2026). https://doi.org/10.1038/s41598-026-46268-5

Palabras clave: modelado de tsunamis, cálculo fraccionario, ondas de aguas poco profundas, métodos semianalíticos, propagación de ondas