波数积分理论中深度依赖核函数的谱元解法在水下声传播中的应用

倾听波下的声音

声音是我们感知水下发生情况的主要方式，从追踪潜艇到聆听鲸类。但要预测声音在真实海洋中如何传播——在温度变化和分层海床的影响下——是一个严峻的计算挑战。本文介绍了一种新的数值工具，承诺提供更清晰、更快速的水下声学模拟，帮助科学家和工程师设计更好的声纳、通信链路和监测系统。

为什么水下声学难以预测

在海中，声音不会沿直线传播。它在通过具有不同温度和盐度的水层时会折射、反射并扩散，同时在遇到水面或海底时也会发生变化。为了预测来自船舶或仪器的声音如何扩散，研究人员使用求解波动方程的数学模型，这是描述声音行为的核心定律。一个强有力的模型家族——波数积分法——将问题分解为横向和纵向两部分。描述声音随深度变化的纵向部分尤其棘手，并在很大程度上决定了模拟的精度和速度。

旧方法及其权衡

在该纵向计算中，两类主要方法占主导地位。有限元模型将水柱切分为许多薄层，并用简单函数在每层内近似声场。这类方法计算效率高，但要达到高精度需要非常细的划分，因此误差随着细化只缓慢减小。谱方法则走相反路线：用由特殊多项式构成的平滑全局基函数来表示声场，以较少的未知量获得极高的精度。但它们会产生稠密矩阵，求解代价高，这使得在大规模或高细节问题上速度变慢。直到现在，使用者通常必须在速度和精度之间权衡选择。

使用谱元的中间路径

作者提出了 SemWI，一种在波数积分模型中用于深度计算的谱元方法。其思想是像有限元那样将水柱分为若干单元，但在每个单元内用高阶曲线、基于精心选择的插值点来表示声场。这些点在单元边缘聚集，从而在声学特征快速变化的区域提高精度。当所有单元组装后，得到的方程系统形成块对角、对称矩阵，比标准谱方法稀疏得多。这样的结构既能更快求解，又能保留谱方法快速降误差的优点。

对新方法的检验

为评估 SemWI，团队进行了三组数值实验以模拟常见海洋情形。首先，他们考察了一个行为可由艾里函数精确描述的单层水柱。SemWI几乎完美地重现了细节丰富的深度依赖“核”函数和整体的声传输损失，与精确解一致。接着，他们模拟了更现实的浅海情形——水面导管上方为吸收性海底——并将 SemWI 与两款成熟程序比较：有限元代码 SCOOTER 和谱代码 WISpec。三者给出的声场几乎一致，包括点源和线源情况下的细微能量泄漏到海底的现象。最后，他们考察了具有强声道的深海剖面，发现 SemWI 在 100 公里范围内同样能捕捉到远处的会聚带，与基准模型表现相当。

在速度与精度之间的平衡

除了与已知结果相符外，作者还研究了 SemWI 在调整数值参数时的表现。当固定深度单元数并增加每个单元内的插值点数时，他们观察到误差快速、近乎指数级下降，反映出与纯谱 WISpec 相媲美的真正谱收敛行为。而当固定每单元点数并增加单元数时，SemWI 的表现更像有限元代码，但仍比 SCOOTER 的收敛更快。计时测试显示，SemWI 在浅水情形通常与 SCOOTER 同速或更快；在要求更高的深水情形中，其速度介于 SCOOTER 与 WISpec 之间，同时在精度上明显优于有限元方法。

对海洋探测的意义

通俗地说，这项工作表明在模拟水下声传播时可以兼得速度与精度。通过改变单元数量和插值点数，SemWI 提供了在速度与精度之间的灵活调节，并且可以作为特殊情况模拟现有的有限元或谱模型。由于不同波数样本的深度计算可以并行进行，该方法也很适合现代多核计算机。这使 SemWI 成为需要在复杂海洋中可靠预测声传播的科学家和工程师的一种实用且强大的新工具。

引用: Tu, H., Wang, Y., Wang, Y. et al. Spectral element solution of the depth-dependent kernel functions in wavenumber integration theory of underwater acoustic propagation. npj Acoust. 2, 19 (2026). https://doi.org/10.1038/s44384-026-00055-8

关键词: 水下声学, 声传播, 数值建模, 谱元方法, 海洋波导