Оптимизация управления типа bang-bang в модели инфекционного заболевания с учётом прорывных инфекций и повторного заражения

Почему повторные вспышки всё ещё ставят нас в тупик

Многие полагают, что после вакцинации или перенесённого заболевания угроза в значительной степени исчезает. Тем не менее пандемия COVID-19 и другие болезни показали, что волны случаев могут повторяться. В этом исследовании изучается, почему возникают такие откаты, и как органы здравоохранения могут использовать короткие интенсивные всплески мер контроля, чтобы сдержать распространение болезни, избегая при этом длительных периодов нарушений.

Что авторы хотели объяснить

Авторы сосредоточились на двух реальных особенностях инфекций, которые часто изучают отдельно. Первая — прорывная инфекция, когда вакцинированные люди всё же заболевают, потому что защита неидеальна или со временем ослабевает. Вторая — повторное заражение, когда восстановившиеся люди теряют иммунитет и могут заразиться снова. Для таких болезней, как COVID-19, грипп и денге, оба эффекта присутствуют одновременно. Исследователи стремились к единой математической модели, которая объединяла бы эти элементы и помогала прояснить, когда болезнь вымирает, превращается в небольшую повторяющуюся проблему или устойчива и переходит в долгосрочный эндемичный режим.

Как модель отслеживает людей и иммунитет

Команда делит население на четыре группы: восприимчивые, вакцинированные, в настоящее время инфицированные и восстановившиеся. Люди со временем переходят между этими группами. Вакцинированные могут терять защиту и снова становиться восприимчивыми, а восстановившиеся — постепенно терять естественный иммунитет. Двумя ключевыми параметрами описывается, как часто вакцинированные заражаются несмотря на укол и как часто восстановившиеся заражаются снова. Меняя эти показатели, модель может имитировать ситуации, когда вакцины работают очень хорошо, когда иммунитет быстро слабеет, или когда сам вирус изменяется, чтобы ускользнуть от защиты.

Когда старые правила про порог уже не работают

Центральной величиной в моделировании инфекционных болезней является базовое число воспроизводимости (R0), описывающее, сколько новых инфекций вызывает каждый случай в полностью восприимчивом населении. В простых моделях, если это число ниже единицы, болезнь в конечном счёте исчезает; если выше — сохраняется. Новая модель показывает, что при одновременном наличии прорывных инфекций и повторных заражений это правило может дать сбой. При некоторых условиях система испытывает то, что математики называют обратным бифуркацией, то есть даже когда число воспроизводимости ниже единицы, болезнь всё ещё может установиться в стабильное эндемичное состояние. Исследование показывает, что такое проблемное поведение возникает всякий раз, когда хотя бы один из двух эффектов — прорывные инфекции или повторные заражения — присутствует в заметной степени.

Короткие резкие меры вместо бесконечных ограничений

Кроме теории, авторы рассматривают, как лучше действовать, когда вакцины и прошлые инфекции не полностью останавливают распространение. Они изучают вид временного оптимального управления, известный как bang-bang управление. Вместо того чтобы держать меры частично включёнными длительное время, эта стратегия переключает вмешательства полностью вкл./выкл. На практике это соответствует чётким фазам, например периоду строгого ношения масок, дистанцирования и оперативной вакцинации, за которым следует фаза с минимальными ограничениями. С помощью численных симуляций исследователи сравнивают разные комбинации мер: снижение вероятности передачи, увеличение охвата вакцинацией и повышение эффективности вакцин.

Что результаты говорят о разумной общественной политике в области здравоохранения

Симуляции показывают, что сочетание всех трёх мер в коротких интенсивных всплесках сокращает и продолжительность вспышки, и общее число заразившихся. Упор только на повышение уровня вакцинации или только на улучшение защиты вакцин может временно снизить количество случаев, но допустить откат или сохранение эндемичности заболевания. Напротив, координированные всплески, которые сокращают передачу, повышают охват и улучшают качество вакцин, могут быстро снизить число инфекций до очень низких уровней, даже когда прорывные инфекции и повторные заражения распространены. Для непрофессионального читателя главный вывод таков: несовершенный иммунитет означает, что нельзя рассчитывать только на вакцины для завершения некоторых эпидемий, но правильно рассчитанные пакеты сильных мер, применяемые в ограниченные периоды, могут контролировать распространение болезни при более эффективном использовании ресурсов.

Цитирование: Chen, Y., Jing, W., Zhang, J. et al. Bang-bang control optimization in infectious disease model with incorporating breakthrough and reinfection. Sci Rep 16, 15272 (2026). https://doi.org/10.1038/s41598-026-44921-7

Ключевые слова: прорывная инфекция, повторное заражение, волны эпидемии, стратегия вакцинации, оптимальное управление