Аналитический анализ нелинейного дробного порядка уравнения Почхаммера—Чри с степенной нелинейностью в упругих материалах

Волны, которые помнят

Во многих природных и технических материалах ответ на сжатие, растяжение или кручение не происходит мгновенно. Они «помнят» предшествующие деформации, и эта память меняет поведение волн — например, колебаний или импульсов напряжения — при распространении. В статье разработана и проанализирована математическая модель, учитывающая такие эффекты памяти в длинных тонких упругих телах, и показано, как эта память может порождать устойчивые автосохраняющиеся волновые структуры, называемые солитонами.

Почему обычные волновые модели недостаточны

Стандартные волновые уравнения предполагают, что отклик материала зависит только от текущего состояния. Такое приближение работает для простых систем, но ломается в сложных средах — геологических слоях, современных композиционных материалах, биологических тканях или в стержнях и балках со сложной микроструктурой. В этих случаях прошлые деформации продолжают влиять на поведение в настоящем, вызывая нетипичное растекание, замедление или сужение волн. Классическое уравнение Почхаммера—Чри хорошо описывает продольные волны в цилиндрических стержнях, но в своей обычной форме оно не учитывает эффекты памяти и не может полноценно объяснить многие наблюдаемые в экспериментах формы волн.

Введение памяти в волновое уравнение

Чтобы учесть память, авторы используют современную идею дробного производного. Вместо обычной скорости изменения они допускают дробный, нецелочисленный порядок дифференцирования, что позволяет уравнению сочетать информацию о настоящем с взвешенным вкладом прошлого. Принят выбранный вариант «конформного» дробного производного, который во многом ведёт себя как привычная производная из классического анализа, но при этом кодирует эффекты памяти. На этой базе сформулирован дробный вариант уравнения Почхаммера—Чри с степенной нелинейностью: сила восстановления растёт нелинейно с величиной деформации. Сочетание нелинейности и памяти создаёт богатое многообразие возможных волновых режимов.

Поиск одиночных волн в сложной системе

Поскольку такие уравнения чрезвычайно сложны, простая численная симуляция не раскрывает всей их внутренней структуры. Поэтому авторы применяют систематическую аналитическую методику, известную как метод Кумара—Малик. Сначала они переводят исходное пространственно-временное волновое уравнение в более простое уравнение для бегущей волны, описывающее профиль, движущийся без изменения формы. Затем ищут решения, составленные из специальных математических базисных функций — тригонометрических, гиперболических и функций Якоби. Тщательно уравновешивая высшие производные и наиболее сильные нелинейные члены, они получают семейства точных одиночных решений, включая яркие солитоны (локализованные пики), тёмные солитоны (локализованные провалы на фоне), кникс-солитоны (плавные переходы между двумя уровнями) и более сложные периодические или сингулярные волны.

Как память меняет форму волн

Чтобы понять физический смысл полученных решений, исследователи визуализировали их с помощью двух- и трёхмерных графиков и карт уровня, сгенерированных в Mathematica. Эти иллюстрации показывают, как параметр дробного порядка «памяти» и другие константы модели влияют на высоту, ширину и скорость солитонов. Некоторые решения выглядят как повторяющиеся игольчатые пики, сохраняющие форму при распространении, другие — как движущиеся горбы, доменные стенки в виде книксов или гибридные структуры, сочетающие периодичность с сильной локализацией. Во всех рассмотренных случаях волны остаются удивительно устойчивыми, сопротивляясь расплыванию, характерному для более привычных систем. Анализ подчёркивает, что изменение дробного порядка и силы нелинейности может переводить систему между разными типами одиночного движения.

Что это означает для реальных материалов

В целом работа показывает, что добавление дробно-порядковой памяти и реалистичной нелинейной реакции в уравнение Почхаммера—Чри даёт гибкую модель для описания широкого спектра одиночных волн в упругих средах. Метод Кумара—Малик оказывается эффективным для получения множества точных волновых форм, а проверки с помощью символьных вычислений подтверждают, что эти формы действительно удовлетворяют управляющему уравнению. Для неспециалистов ключевой вывод таков: материалы с памятью могут поддерживать устойчивые пакетоподобные волны, чья форма почти не меняется при движении, и тщательно разработанная математика позволяет предсказывать их вид и движение. Эти результаты полезны для дальнейших исследований продвинутых механических конструкций, передачи сигналов на основе волн и проектирования материалов, в которых контроль колебаний и волн напряжения критически важен.

Цитирование: Khalid, M., Khalid, N.A., Ceesay, B. et al. Analytical analysis of the nonlinear fractional order Pochhammer-Chree equation with power-law nonlinearity in elastic materials. Sci Rep 16, 14359 (2026). https://doi.org/10.1038/s41598-026-44888-5

Ключевые слова: солитоны, дробное исчисление, упругие волны, нелинейная динамика, уравнение Почхаммера—Чри