使用 Caputo–Fabrizio 算子与径向基函数神经网络对非线性变阶分数混沌系统建模

不可预测系统为何重要

从天气与股市到大脑活动与激光光束，许多自然与工程系统的行为看似随机，实则由严格规律支配。这种行为被称为混沌。本文探讨了一种在系统具有“记忆”时建模这类混沌的新方法，并展示了一种专门的神经网络如何以极高的精度学习并预测其剧烈的运动。理解并驯服这类行为可改善安全通信、控制工程与信号处理等领域。

为混沌加入记忆

经典的混沌数学模型使用常微分方程，把未来仅视为依赖当前状态。但在现实中，许多系统会记住更早发生的事件：被拉伸的材料、老化的电子元件，或受过去周期影响的生物节律。为捕捉这类效应，研究者使用“分数”微积分，它允许将记忆强度在无记忆与长记忆之间连续调节。本文更进一步，允许记忆强度随时间变化而非保持不变，从而产生所谓的变阶混沌系统。这类模型更能反映记忆逐渐累积、衰减或振荡的情形。

描述记忆的更平滑方式

作者选用了特定的数学工具——Caputo–Fabrizio 算子——来描述这一变化的记忆。与一些涉及奇异核且可能引发数值问题的传统形式不同，该算子使用平滑的指数核。这使得在计算机上求解这些方程更简单、更稳定，尤其适用于仅关注短到中期记忆的系统。研究团队将此选择与其他常用算子进行比较，发现就他们的目标而言，Caputo–Fabrizio 在保留塑造混沌运动的关键记忆效应与降低计算成本、防止导致模拟失稳的刚性问题之间取得了平衡。

系统记忆的两种形式

为观察变化记忆如何影响混沌，研究者研究了一个由三个变量构成的动力系统，其轨迹在空间中描绘出环状、蝴蝶状的图形。他们检验了记忆强度演化的两种情形。第一种中，记忆随时间逐渐增强，模拟随衰老而变得更依赖历史的器件或电路。第二种中，记忆周期性波动，类似于有节律的生物过程或反馈驱动的系统。对每种情形，他们在长时间尺度上模拟系统，检查三个变量值的分布，重构运动在“相空间”中的隐含几何结构，并计算描述相邻轨道发散敏感性的 Lyapunov 指数。结果显示，较强的记忆通常会加剧混沌行为，而较弱的记忆则会抑制它，揭示了历史与不稳定性之间的紧密联系。

教神经网络追踪混沌

直接求解这些富含记忆的方程可能代价高昂，因此作者转向人工智能方法。他们采用径向基函数神经网络，一类特别适合拟合平滑非线性函数的网络。使用来自其分数变阶系统的模拟时间序列作为训练数据，研究者配置了含数千个隐含单元的网络，并训练它们重现系统的三个状态变量。通过对径向函数中心与宽度的设置、训练与测试数据的划分以及误差度量等设计细节的精心选择，使得网络能以极小的差异近似混沌轨迹，误差水平甚至接近数值精度的极限。

对实际应用的意义

这项研究表明，允许混沌系统的记忆随时间变化，能产生比传统定阶或无记忆方程更贴近复杂现实行为的模型。同时，使用径向基函数神经网络可将这些复杂的数学描述转化为高效的数据驱动替代模型，能够快速评估。对于非专业读者，主要结论是研究者构建了一个灵活且精确的工具箱，用以描述和预测依赖历史的异常信号。这类工具最终可能使得设计安全通信方案、更稳健的控制策略以及先进的信号处理方法更为容易，从而利用而非受制于混沌。

引用: Sawar, S., Ayaz, M., Aldhabani, M.S. et al. Modeling nonlinear variable-order fractional chaotic systems using the Caputo-Fabrizio operator and radial basis function neural networks. Sci Rep 16, 7912 (2026). https://doi.org/10.1038/s41598-026-39288-8

关键词: 混沌系统, 分数微积分, 变阶动力学, 神经网络, 非线性建模