Caputo-Fabrizio operatörü ve radyal bazlı fonksiyon sinir ağları kullanarak doğrusal olmayan değişken-ordermli kesirli kaotik sistemlerin modellenmesi

Neden öngörülemez sistemler önemli

Hava durumu ve borsa hareketlerinden beyin aktivitesi ve lazer ışığına kadar doğada ve teknolojide birçok sistem rastgeleymiş gibi görünen ama aslında katı kurallarla yönetilen davranışlar sergiler. Bu davranış kaos olarak adlandırılır. Makale, geçmişine dair bir tür "hafıza" taşıyan bu tür kaotik sistemleri modellemenin yeni bir yolunu araştırıyor ve özelleştirilmiş bir sinir ağı türünün bu vahşi hareketleri dikkat çekici bir doğrulukla nasıl öğrenip tahmin edebildiğini gösteriyor. Bu tür davranışları anlamak ve dizginlemek, güvenli iletişim, kontrol mühendisliği ve sinyal işleme alanlarını geliştirebilir.

Kaosa hafıza eklemek

Kaosun klasik matematiksel modelleri geleceği yalnızca mevcut duruma bağlı kabul eden sıradan diferansiyel denklemler kullanır. Oysa gerçek hayatta birçok sistem önceki olayları hatırlar: gerilmiş bir malzeme, yaşlanan bir elektronik bileşen veya geçmiş döngülerin şekillendirdiği biyolojik bir ritim gibi. Bunu yakalamak için araştırmacılar, bu hafıza gücünü belirsizden güçlü hafızaya kadar sürekli olarak ayarlamaya imkân veren "kesirli" kalkülüsü kullanır. Bu makale bir adım daha ileri giderek bu hafıza gücünün sabit kalmak yerine zaman içinde değişmesine izin veriyor ve değişken-ordu kaotik sistemler denen yapıları oluşturuyor. Bu tür modeller, hafızanın zamanla kademeli olarak biriktiği, sönümlendiği veya salındığı durumları daha iyi yansıtır.

Hafızayı tanımlamanın daha yumuşak bir yolu

Yazarlar, bu değişen hafızayı ifade etmek için Caputo–Fabrizio operatörünü seçiyor. Keskin, tekillikli çekirdekler içeren ve sayısal sorunlara yol açabilen bazı geleneksel formülasyonların aksine bu operatör düzgün bir üstel çekirdek kullanır. Bu, denklemlerin bilgisayarda daha kolay ve daha kararlı çözülmesini sağlar; özellikle kısa- ve orta-dönem hafızanın önemli olduğu sistemlerde. Ekip bu seçimi diğer yaygın operatörlerle karşılaştırıyor ve amaçları açısından Caputo–Fabrizio’nun bir denge sağladığını buluyor: kaotik hareketi şekillendiren temel hafıza etkilerini korurken hesaplama maliyetini azaltıyor ve simülasyonları raydan çıkarabilecek sertlik sorunlarından kaçınıyor.

Bir sistemin iki şekilde hatırlaması

Hafızadaki değişimin kaosu nasıl etkilediğini görmek için araştırmacılar, uzayda döngüsel, kelebek benzeri yollar çizen üç değişkenli bir dinamik sistemi inceliyor. Hafıza gücünün nasıl evrildiğine ilişkin iki senaryoyu test ediyorlar. Birincisinde hafıza zamanla kademeli olarak güçleniyor; bu, yaşlandıkça geçmişe daha bağımlı hale gelen cihazları veya devreleri taklit ediyor. İkincisinde hafıza periyodik olarak dalgalanıyor; bu, ritmik biyolojik süreçleri veya geri beslemeye dayalı düzenleri yansıtıyor. Her durumda sistemi uzun süreli olarak simüle ediyor, üç değişkenin değer dağılımlarını inceliyor, hareketin gizli geometrik yapısını "faz uzayı"nda yeniden oluşturuyor ve yakın yörüngelerin ne kadar hassas şekilde ayrıştığını ölçen Lyapunov üstel değerlerini hesaplıyorlar. Daha güçlü hafızanın genellikle kaotik davranışı yoğunlaştırdığını, daha zayıf hafızanın ise onu sönümlendirdiğini ve geçmiş ile kararsızlık arasında sıkı bir bağ ortaya koyduklarını buluyorlar.

Bir sinir ağına kaosu takip etmeyi öğretmek

Bu hafıza zengini denklemleri doğrudan çözmek zahmetli olabileceğinden yazarlar bir yapay zeka yaklaşımına yöneliyor. Özellikle düzgün, doğrusal olmayan fonksiyonları uydurmada iyi olan radyal bazlı fonksiyon sinir ağları kullanıyorlar. Kesirli değişken-ordu sistemlerinden elde ettikleri simüle edilmiş zaman serilerini eğitim verisi olarak kullanarak, binlerce gizli birime sahip ağlar yapılandırıyor ve ağları sistemin üç durum değişkenini yeniden üretmeleri için eğitiyorlar. Radyal fonksiyonların merkez ve genişliklerinin nasıl belirlendiği, verinin eğitim ve test olarak nasıl bölündüğü ve hatanın nasıl ölçüldüğü gibi özenli tasarım seçimleri, ağların kaotik yörüngeleri son derece küçük farklarla; sayısal doğruluğun sınırlarına yaklaşan hata seviyelerine kadar yaklaşıklamasına olanak tanıyor.

Gerçek dünya uygulamaları için anlamı

Çalışma, bir kaotik sistemin hafızasının zamanla değişmesine izin vermenin, geleneksel sabit-ordu veya hafızasız denklemlerden daha yakın şekilde karmaşık, gerçek dünya davranışını taklit eden modeller ürettiğini gösteriyor. Aynı zamanda radyal bazlı fonksiyon sinir ağlarının kullanımı bu ağır matematiksel tanımları hızlıca değerlendirilebilen veriye dayalı vekillere dönüştürüyor. Uzman olmayan bir okuyucu için temel çıkarım, araştırmacıların geçmişe bağlı düzensiz sinyalleri tanımlamak ve tahmin etmek için esnek ve doğru bir araç seti oluşturmuş olmalarıdır. Bu tür araçlar nihayetinde güvenli iletişim şemalarının tasarımını, sağlam kontrol stratejilerini ve kaostan ziyade ondan yararlanan gelişmiş sinyal işleme yöntemlerini kolaylaştırabilir.

Atıf: Sawar, S., Ayaz, M., Aldhabani, M.S. et al. Modeling nonlinear variable-order fractional chaotic systems using the Caputo-Fabrizio operator and radial basis function neural networks. Sci Rep 16, 7912 (2026). https://doi.org/10.1038/s41598-026-39288-8

Anahtar kelimeler: kaotik sistemler, kesirli kalkülüs, değişken-ordu dinamikleri, sinir ağları, doğrusal olmayan modelleme