Моделирование нелинейных хаотических систем переменного порядка с использованием оператора Капуто–Фабрицио и нейронных сетей на радиальных базисных функциях

Почему важно изучать непредсказуемые системы

От погоды и фондового рынка до активности мозга и лазерного излучения — многие системы в природе и технике ведут себя так, будто бы случайно, хотя на самом деле их движение подчинено строгим законам. Такое поведение называют хаосом. В статье рассматривается новый подход к моделированию подобных хаотических систем, когда у них есть своего рода «память» о прошлом, и показано, как специализированный тип нейронной сети может научиться предсказывать их бурное поведение с поразительной точностью. Понимание и укрощение такого поведения может улучшить защищённую связь, управление в технике и обработку сигналов.

Добавляя памяти в хаос

Классические математические модели хаоса используют обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых будущее зависит только от текущего состояния. На деле многие системы «помнят» предшествующие события: материал, подвергавшийся деформации, электронный компонент, стареющий со временем, или биологический ритм, сформированный прошлыми циклами. Чтобы учесть это, исследователи используют «дробное» исчисление, которое позволяет непрерывно настраивать силу этой памяти — от её отсутствия до длительной зависимости от прошлого. В этой работе сделан следующий шаг: память допускается меняющейся со временем, а не фиксированной, что порождает так называемые хаотические системы переменного порядка. Такие модели точнее отражают ситуации, когда память накапливается, угасает или колеблется.

Более мягкое описание памяти

Авторы выбирают конкретный математический инструмент — оператор Капуто–Фабрицио — для описания такой изменяющейся памяти. В отличие от некоторых традиционных формулировок с острыми сингулярными ядрами, вызывающими численные трудности, этот оператор использует гладкое экспоненциальное ядро. Это делает уравнения проще и стабильнее для численного решения, особенно в системах, где важна преимущественно кратко- и среднесрочная память. Команда сравнивает этот выбор с другими популярными операторами и приходит к выводу, что для их задач Капуто–Фабрицио обеспечивает разумный компромисс: он сохраняет ключевые эффект памяти, формирующие хаотическое движение, одновременно снижая вычислительную нагрузку и избегая жёсткости, которая может разрушить симуляции.

Два способа, которыми система может запоминать

Чтобы понять, как меняющаяся память влияет на хаос, исследователи изучают динамическую систему с тремя переменными, траектории которой образуют петлеобразные, похожие на бабочку, фигуры в пространстве. Они рассматривают два сценария эволюции силы памяти. В первом память постепенно усиливается со временем, имитируя устройства или цепи, которые становятся более зависимыми от прошлого по мере старения. Во втором память периодически колеблется, напоминая ритмические биологические или управляемые обратной связью процессы. Для каждого случая они моделируют систему в течение длительного времени, анализируют распределение значений трёх переменных, реконструируют скрытую геометрическую структуру движения в «фазовом пространстве» и вычисляют показатели Ляпунова, измеряющие, насколько чувствительно рядом идущие траектории расходятся. Они обнаруживают, что более сильная память обычно усиливает хаотическое поведение, а более слабая — его подавляет, выявляя тесную связь между прошлым и нестабильностью.

Обучение нейронной сети следовать за хаосом

Прямое решение этих уравнений с богатой памятью может быть вычислительно затратным, поэтому авторы обращаются к методам искусственного интеллекта. Они используют нейронные сети на радиальных базисных функциях — тип сети, особенно пригодный для аппроксимации гладких нелинейных функций. Используя сгенерированные временные ряды их дробной системы переменного порядка в качестве обучающих данных, они настраивают сети с тысячами скрытых элементов и обучают их воспроизводить три переменных состояния системы. Внимательно продуманные решения — как задаются центры и ширины радиальных функций, как разделяются данные на обучающую и тестовую выборки и как измеряется ошибка — позволяют сетям приближать хаотические траектории с крайне малыми расхождениями, до уровней ошибок, близких к пределам численной точности.

Что это значит для практических приложений

Исследование показывает, что допущение изменения памяти хаотической системы со временем даёт модели, которые ближе воспроизводят сложное поведение реальных систем, чем традиционные уравнения с постоянным порядком или без памяти. В то же время применение нейросетей на радиальных базисных функциях превращает эти тяжёлые математические описания в эффективные, основанные на данных суррогаты, которые можно быстро вычислять. Для неспециалиста главный вывод таков: исследователи создали гибкий и точный набор инструментов для описания и предсказания неустойчивых сигналов, зависящих от их прошлого. Такие инструменты в конечном итоге могут упростить разработку схем защищённой связи, надёжных стратегий управления и продвинутых методов обработки сигналов, которые используют хаос, а не становятся от него заложниками.

Цитирование: Sawar, S., Ayaz, M., Aldhabani, M.S. et al. Modeling nonlinear variable-order fractional chaotic systems using the Caputo-Fabrizio operator and radial basis function neural networks. Sci Rep 16, 7912 (2026). https://doi.org/10.1038/s41598-026-39288-8

Ключевые слова: хаотические системы, дробное исчисление, динамика переменного порядка, нейронные сети, нелинейное моделирование