Индекс Харари графа делителей нуля верхнетреугольных матриц

Почему расстояние в абстрактных сетях важно

На первый взгляд статья про «графы делителей нуля верхнетреугольных матриц» кажется далёкой от повседневной жизни. Тем не менее идеи, лежащие в её основе, такие же, которые помогают инженерам проектировать устойчивые коммуникационные сети и химикам предсказывать поведение молекул. В этом исследовании рассматривают способ привязать одно число — индекс Харари — к особому виду сети, построенной из матриц, и показывают, как это число отражает степень связанности сети. Понимание такой связности в точной математической форме лежит в основе современной криптографии, систем, толерантных к ошибкам, и даже некоторых моделей сложных химических структур.

От алгебраических правил к картинам связей

Многие алгебраические объекты, такие как кольца чисел или матрицы, можно визуализировать в виде сетей. В графе делителей нуля каждая вершина представляет элемент, который при умножении может превратить другой ненулевой элемент в ноль. Две вершины соединяются, когда их произведение равно нулю. В статье рассматриваются матрицы, которые являются верхнетреугольными — то есть все элементы ниже главной диагонали равны нулю — и чьи элементы берутся из простейшей двухсимвольной системы Z₂ (со значениями 0 и 1). Даже в этом упрощённом варианте возникает удивительно богатая сеть взаимодействий между матрицами.

Измерение близости с помощью индекса Харари

Чтобы сравнивать разные сети, математики пользуются числовыми сводками, называемыми топологическими индексами. Индекс Харари — один из них: он получается путём рассмотрения каждой пары вершин в связном графе, измерения числа шагов между ними и суммирования обратных величин этих расстояний. Пары, соединённые напрямую, вносят больший вклад в итоговую сумму, чем отдалённые или несвязанные пары. В химии это число использовали, чтобы соотнести структуру молекулы с такими свойствами, как температура кипения. Здесь авторы переносят ту же идею в чисто алгебраическую среду, применяя индекс Харари к графам делителей нуля, построенным из верхнетреугольных матриц.

Построение сетей из простых матриц

Авторы сначала исследуют все верхнетреугольные 2×2 и 3×3 матрицы над Z₂. Для 2×2 матриц существует восемь вариантов, семь из которых ненулевые и участвуют в отношениях делителей нуля. Эти отношения формируют небольшой граф делителей нуля, уже изученный в предыдущих работах. Для верхнетреугольных 3×3 матриц существует 64 варианта; исключение нулевой матрицы оставляет 63 кандидата. Каждую такую матрицу можно рассматривать как вершину в сети, а рёбра проводят в зависимости от того, как ведут себя их произведения. Поскольку умножение матриц не обязательно коммутативно — то есть AB может быть нулём, когда BA нет, — авторы различают ориентированные и неориентированные версии получающихся графов.

Ориентированная и неориентированная связность

В ориентированном графе делителей нуля стрелка проводится от одной матрицы к другой, когда их произведение в этом порядке равно нулю. Эта направленность делает сеть более сложной, отражая некоммутативный характер умножения матриц. Авторы вычисляют индекс Харари для небольшого ориентированного графа из 2×2 матриц явно, получая значение 7/2. Для значительно большего случая 3×3 перечисление всех попарных расстояний было бы громоздким, поэтому они упорядочивают расстояния в подробные таблицы и затем выражают индекс Харари в компактной комбинаторной формуле с биномиальными коэффициентами. Они также показывают, что при переходе к матрицам большего размера или к кольцам с большим числом элементов индекс Харари должен превышать определённую нижнюю границу, что фиксирует факт: общая связность не может опуститься ниже некоторого уровня.

Когда умножение становится двунаправленным

Авторы также выделяют те 3×3 матрицы, которые взаимодействуют полностью симметрично: если матрица P_i умноженная на P_j даёт ноль, то и P_j умноженная на P_i тоже даёт ноль. Ограничение внимания этими коммутативными делителями нуля даёт неориентированный граф делителей нуля. Для этого графа, где рёбра не имеют направления, команда снова вычисляет индекс Харари. Они выводят вторую аккуратную формулу, на этот раз отражающую более короткие и симметричные пути, возникающие, когда каждое нулевое произведение двусторонне. Аналогичная нижняя граница доказывается и здесь, иллюстрируя, как индекс ведёт себя по мере роста размера или сложности сети.

Что это говорит о структуре

Для неспециалиста ключевое сообщение таково: одно числовое значение — индекс Харари — может кодировать тонкую информацию о том, как элементы алгебраической системы связаны между собой. В случае верхнетреугольных матриц над Z₂ ориентированные и неориентированные графы делителей нуля имеют разные индексы Харари, что отражает разницу между односторонними и двусторонними взаимодействиями. Поскольку такие индексы уже полезны для оценки устойчивости в криптографических сетях и для соотнесения структуры молекулы с её физическими свойствами, эти результаты открывают путь к анализу более сложных кольцев матриц и связанных графов. Как отмечают авторы, дальнейшие исследования могут расширить эту схему на большие матрицы, другие числовые системы и дополнительные конструкции, называемые козеро‑делительными графами (cozero-divisor graphs), углубляя мост между абстрактной алгеброй и практическим проектированием сетей.

Цитирование: Alshanqiti, O., Sharma, S. & Bhat, V.K. Harary index of the zero divisor graph of upper triangular matrices. Sci Rep 16, 7239 (2026). https://doi.org/10.1038/s41598-026-37880-6

Ключевые слова: граф делителей нуля, индекс Харари, верхнетреугольные матрицы, инварианты графов, алгебраические сети