Сингулярности в нелинейных системах: модель дифференциального включения для стандартного и преобразованного дробного уравнения пантографа

Почему важны сингулярные задержки и память

Многие реальные системы — от электричек, питающихся от контактного провода, до сигналов, распространяющихся по сложным сетям — не реагируют мгновенно или плавно. Их поведение зависит от прошлого (память), от масштабированных вариантов времени (мультишкальные эффекты) и иногда становится бесконечным или неопределённым в особых точках (сингулярности). Кроме того, инженерам и учёным редко известны все параметры точно. В статье предложена новая математическая структура, способная одновременно учитывать все эти особенности, что даёт более безопасные и реалистичные модели для таких сложных систем.

Уравнения, которые растягивают и запоминают время

В центре внимания — уравнения пантографа, особый тип задержанных уравнений, где текущая скорость изменения зависит от состояния в масштабированное время, например x(λt) при 0 < λ < 1. Это напоминает, как контактный пантограф электропоезда замеряет ток вдоль провода и естественно моделирует сужение или растяжение временных масштабов. Авторы выходят за рамки классических версий, используя дробные производные, которые учитывают память времени, а не только мгновенные эффекты. В таких моделях текущее состояние зависит от взвешенной истории всех прошлых состояний, что позволяет лучше, чем обычные производные, описывать дальнодействующие эффекты в материалах, биологических тканях и сложных сигналах.

Работа с сингулярным поведением и неопределённостью

В реальности системы часто ведут себя плохо возле границ или особых точек — например, когда энергия резко вводится в начале процесса или когда отсутствуют данные около t = 0. Математически это проявляется в виде сингулярностей — членов, которые становятся крайне большими или неопределёнными. Одновременно важные параметры могут быть известны лишь в пределах некоторого интервала. Для отражения этой неопределённости авторы используют дифференциальные включения, где уравнение не задаёт единственного следующего шага, а целое множество возможных шагов. Это даёт модели возможность явно учесть неопределённость и несглаженное поведение и естественно приводит к семействам возможных эволюций вместо одной предсказанной траектории.

Стандартные и преобразованные сингулярности

В работе развита теория существования для двух основных классов задач. В «стандартном» случае сингулярное поведение учитывается прямо в уравнении, и авторы доказывают, что при достаточно мягких условиях на рост и непрерывность существует по крайней мере одно точное решение, удовлетворяющее всем краевым условиям. Они опираются на современные техники неподвижной точки, приспособленные к отображениям-значениям множеств, используя специализированные версии принципов сжатия и метрику, измеряющую расстояние между множествами. В «преобразованном» случае вводятся тщательно подобранные весовые функции p(t), которые поглощают самые сильные сингулярные члены. Переписывая неизвестную функцию в взвешенном пространстве, определённом через p(t), проблему, которая иначе была бы слишком «дикой», удаётся привести к применению классических теорем о существовании.

Что показывают численные примеры

Чтобы показать, что абстрактная теория не является чисто формальным упражнением, авторы приводят три подробных примера. Эти примеры демонстрируют дробные пантографные задачи с сингулярными коэффициентами, которые либо расходятся в начале временного интервала, либо близко к его концу. Для каждого случая они вычисляют оценки, подтверждающие предположения теорем, а затем строят графики типичных решений и сингулярных коэффициентов. На рисунках видно, как весовое преобразование сглаживает сильные всплески, как дробные «члены памяти» формируют эволюцию и как целый пучок возможных кривых решений может удовлетворять одним и тем же начальным и краевым условиям при учёте неопределённости через включения.

Вывод для сложных систем

Говоря простым языком, главный вывод в том, что авторы создали надёжный математический инструментарий для систем, которые имеют задержки, «помнят» прошлое, ведут себя плохо в отдельных точках и подвержены неопределённости — всё одновременно. Их результаты гарантируют, что такие системы не сводятся к противоречиям: при чётко сформулированных условиях решения существуют, а преобразованный подход позволяет работать даже с очень сильными сингулярными поведениями. Эта единая структура закладывает основу для дальнейших исследований устойчивости, численного моделирования и памяти переменного порядка, а также обещает более реалистичные модели в областях, таких как энергетика, биологический рост и мультишкальная обработка сигналов, где идеализированные уравнения часто недостаточны.

Цитирование: Mobayen, S., Ghaderi, M., Shabibi, M. et al. Singularity in nonlinear systems: differential inclusion model for the standard and transformed fractional pantograph equation. Sci Rep 16, 6482 (2026). https://doi.org/10.1038/s41598-026-35530-5

Ключевые слова: дробные уравнения пантографа, дифференциальные включения, сингулярные краевые задачи, заданные дифференциальные уравнения, эффекты памяти в динамических системах