Modelagem de sistemas caóticos fracionários não lineares de ordem variável usando o operador de Caputo–Fabrizio e redes neurais de função de base radial

Por que sistemas imprevisíveis importam

Da meteorologia e do mercado de ações à atividade cerebral e à luz de laser, muitos sistemas na natureza e na tecnologia se comportam de maneiras que parecem aleatórias, mas são regidos por regras rígidas. Esse comportamento é conhecido como caos. O artigo explora uma nova forma de modelar esses sistemas caóticos quando eles possuem uma espécie de “memória” do passado, e mostra como um tipo especializado de rede neural pode aprender e prever seus movimentos erráticos com notável precisão. Entender e domar esse tipo de comportamento pode aprimorar comunicações seguras, engenharia de controle e processamento de sinais.

Acrescentando memória ao caos

Modelos matemáticos clássicos de caos usam equações diferenciais ordinárias que tratam o futuro como dependente apenas do estado presente. Na realidade, muitos sistemas lembram o que aconteceu anteriormente: um material que foi submetido a tensão, um componente eletrônico que envelheceu ou um ritmo biológico moldado por ciclos passados. Para capturar isso, os pesquisadores usam o cálculo “fracionário”, que permite ajustar continuamente a intensidade dessa memória entre ausência de memória e memória longa. Este artigo vai além ao permitir que essa intensidade de memória varie ao longo do tempo em vez de permanecer fixa, criando o que se chama de sistemas caóticos de ordem variável. Tais modelos refletem melhor situações em que a memória se acumula, decai ou oscila.

Uma forma mais suave de descrever a memória

Os autores escolhem uma ferramenta matemática particular, o operador de Caputo–Fabrizio, para expressar essa memória variável. Ao contrário de algumas formulações tradicionais que envolvem núcleos singulares e podem causar dificuldades numéricas, esse operador usa um núcleo exponencial suave. Isso torna as equações mais fáceis e estáveis de resolver em um computador, especialmente para sistemas em que a memória é relevante em curto a médio prazo. A equipe compara essa escolha com outros operadores populares e constata que, para seus propósitos, Caputo–Fabrizio encontra um equilíbrio: conserva os efeitos essenciais de memória que moldam o movimento caótico ao mesmo tempo em que reduz o custo computacional e evita rigidez que pode atrapalhar simulações.

Duas maneiras pelas quais um sistema pode lembrar

Para ver como a memória variável afeta o caos, os pesquisadores estudam um sistema dinâmico de três variáveis cujas trajetórias traçam formas em espaço reminiscentes de laços ou borboletas. Eles testam dois cenários para a evolução da intensidade de memória. No primeiro, a memória se fortalece gradualmente ao longo do tempo, imitando dispositivos ou circuitos que se tornam mais dependentes de seu histórico à medida que envelhecem. No segundo, a memória oscila periodicamente, ecoando processos biológicos rítmicos ou mecanismos de realimentação. Em cada caso eles simulam o sistema por longos períodos, examinam a distribuição de valores das três variáveis, reconstróem a estrutura geométrica oculta do movimento no “espaço de fases” e calculam expoentes de Lyapunov que medem quão sensivelmente trajetórias próximas divergem. Eles constatam que memória mais forte tende a intensificar o comportamento caótico, enquanto memória mais fraca o amortiza, revelando um vínculo estreito entre história e instabilidade.

Ensinando uma rede neural a acompanhar o caos

Resolver diretamente essas equações ricas em memória pode ser exigente, então os autores recorrem a uma abordagem de inteligência artificial. Eles empregam redes neurais de função de base radial, um tipo de rede particularmente eficaz em ajustar funções suaves e não lineares. Usando séries temporais simuladas de seu sistema fracionário de ordem variável como dados de treinamento, configuram redes com milhares de unidades ocultas e as treinam para reproduzir as três variáveis de estado do sistema. Decisões de projeto cuidadosas — como definir centros e larguras das funções radiais, como dividir os dados entre treino e teste e como medir o erro — permitem que as redes aproximem as trajetórias caóticas com discrepâncias extremamente pequenas, chegando a níveis de erro próximos aos limites da precisão numérica.

O que isso significa para aplicações no mundo real

O estudo mostra que permitir que a memória de um sistema caótico mude ao longo do tempo produz modelos que imitam mais de perto o comportamento complexo do mundo real do que equações tradicionais de ordem fixa ou sem memória. Ao mesmo tempo, o uso de redes neurais de função de base radial transforma essas descrições matemáticas pesadas em substitutos eficientes orientados por dados que podem ser avaliados rapidamente. Para um leitor não especialista, a principal conclusão é que os pesquisadores criaram um conjunto de ferramentas flexível e preciso para descrever e prever sinais erráticos que dependem de sua história passada. Tais ferramentas podem, em última instância, facilitar o projeto de esquemas de comunicação seguros, estratégias de controle robustas e métodos avançados de processamento de sinais que aproveitem, em vez de sucumbir ao, caos.

Citação: Sawar, S., Ayaz, M., Aldhabani, M.S. et al. Modeling nonlinear variable-order fractional chaotic systems using the Caputo-Fabrizio operator and radial basis function neural networks. Sci Rep 16, 7912 (2026). https://doi.org/10.1038/s41598-026-39288-8

Palavras-chave: sistemas caóticos, cálculo fracionário, dinâmica de ordem variável, redes neurais, modelagem não linear