Modelowanie nieliniowych chaotycznych układów o zmiennym rzędzie ułamkowym z użyciem operatora Caputo–Fabrizio i sieci neuronowych z bazami radialnymi

Dlaczego nieprzewidywalne układy mają znaczenie

Od pogody i giełdy, przez aktywność mózgu, po światło lasera — wiele układów w przyrodzie i technice zachowuje się w sposób wyglądający na losowy, choć rządzą nimi ścisłe reguły. To zjawisko nazywamy chaosem. Artykuł bada nową metodę modelowania takich układów chaotycznych, gdy mają one rodzaj „pamięci” przeszłości, i pokazuje, jak wyspecjalizowany typ sieci neuronowej potrafi nauczyć się oraz przewidywać ich gwałtowne ruchy z zadziwiającą dokładnością. Zrozumienie i opanowanie tego typu zachowań może usprawnić komunikację bezpieczną, inżynierię sterowania i przetwarzanie sygnałów.

Dodając pamięć do chaosu

Klasyczne modele matematyczne chaosu wykorzystują zwykłe równania różniczkowe, które traktują przyszłość jako zależną wyłącznie od stanu bieżącego. W rzeczywistości wiele układów pamięta, co zdarzyło się wcześniej: materiał, który był obciążony, element elektroniczny, który się zestarzał, czy rytm biologiczny kształtowany przez przeszłe cykle. Aby to uchwycić, badacze stosują rachunek ułamkowy, który pozwala płynnie regulować siłę tej pamięci między jej brakiem a długotrwałym wpływem. W pracy tej idą krok dalej, pozwalając, by siła pamięci zmieniała się w czasie zamiast pozostawać stałą, tworząc tzw. układy chaotyczne o zmiennym rzędzie. Takie modele lepiej odzwierciedlają sytuacje, w których pamięć stopniowo narasta, zanika lub oscyluje.

Gładszy sposób opisu pamięci

Autorzy wybierają konkretną technikę matematyczną — operator Caputo–Fabrizio — do opisu tej zmiennej pamięci. W odróżnieniu od niektórych tradycyjnych form, które wiążą się z ostrymi, osobliwymi jądrami i mogą powodować problemy numeryczne, ten operator wykorzystuje gładkie jądro wykładnicze. Dzięki temu równania są prostsze i bardziej stabilne w obliczeniach komputerowych, zwłaszcza dla układów, gdzie istotna jest pamięć krótkoterminowa do średnioterminowej. Zespół porównuje ten wybór z innymi popularnymi operatorami i stwierdza, że dla ich celów Caputo–Fabrizio osiąga kompromis: zachowuje istotne efekty pamięci kształtujące ruch chaotyczny przy jednoczesnym obniżeniu kosztu obliczeniowego i unikaniu sztywności, która może zniweczyć symulacje.

Dwa sposoby, w jakie układ może pamiętać

Aby zobaczyć, jak zmieniająca się pamięć wpływa na chaos, badacze analizują układ dynamiczny z trzema zmiennymi, których trajektorie kreślą pętle przypominające kształtem motyla. Testują dwa scenariusze ewolucji siły pamięci. W pierwszym pamięć stopniowo się wzmacnia w czasie, naśladując urządzenia lub obwody, które stają się bardziej zależne od historii wraz ze starzeniem. W drugim pamięć okresowo się waha, przypominając rytmiczne procesy biologiczne lub sprzężenia zwrotnego. W każdym przypadku symulują układ przez długi czas, badają rozrzut wartości trzech zmiennych, rekonstruują ukrytą strukturę geometryczną ruchu w „przestrzeni fazowej” oraz obliczają wykładniki Lyanpunowa mierzące, jak czułe jest rozchodzenie się pobliskich trajektorii. Stwierdzają, że silniejsza pamięć zazwyczaj zaostrza zachowanie chaotyczne, podczas gdy słabsza pamięć je tłumi, ujawniając ścisły związek między historią a niestabilnością.

Nauczanie sieci neuronowej podążania za chaosem

Rozwiązywanie tych równań z bogatą pamięcią bezpośrednio może być wymagające, więc autorzy sięgają po podejście z zakresu sztucznej inteligencji. Stosują sieci neuronowe z bazami radialnymi, typ sieci szczególnie dobry w dopasowywaniu gładkich, nieliniowych funkcji. Wykorzystując symulowane szeregi czasowe z ich ułamkowego układu o zmiennym rzędzie jako dane treningowe, konfigurują sieci z tysiącami ukrytych jednostek i trenują je do odtwarzania trzech zmiennych stanu układu. Starannie podjęte decyzje projektowe — jak ustawia się centra i szerokości funkcji radialnych, jak dzieli się dane na zbiór treningowy i testowy oraz jak mierzy błąd — pozwalają sieciom aproksymować trajektorie chaosu z bardzo małymi rozbieżnościami, sięgającymi poziomów błędu bliskich granicom precyzji numerycznej.

Co to oznacza dla zastosowań w praktyce

Badanie pokazuje, że pozwolenie, by pamięć układu chaotycznego zmieniała się w czasie, prowadzi do modeli lepiej oddających złożone, rzeczywiste zachowania niż tradycyjne równania o stałym rzędzie lub pozbawione pamięci. Równocześnie użycie sieci z bazami radialnymi przekształca te ciężkie opisy matematyczne w wydajne, oparte na danych substytuty, które można szybko oceniać. Dla osoby niezaznajomionej z tematem główny wniosek jest taki, że badacze zbudowali elastyczny i dokładny zestaw narzędzi do opisu i przewidywania gwałtownych sygnałów zależnych od przeszłości. Takie narzędzia mogą ostatecznie ułatwić projektowanie bezpiecznych systemów komunikacyjnych, odpornych strategii sterowania oraz zaawansowanych metod przetwarzania sygnałów, które w pełni wykorzystują, zamiast padać ofiarą, chaosu.

Cytowanie: Sawar, S., Ayaz, M., Aldhabani, M.S. et al. Modeling nonlinear variable-order fractional chaotic systems using the Caputo-Fabrizio operator and radial basis function neural networks. Sci Rep 16, 7912 (2026). https://doi.org/10.1038/s41598-026-39288-8

Słowa kluczowe: układy chaotyczne, rachunek ułamkowy, dynamika o zmiennym rzędzie, sieci neuronowe, modelowanie nieliniowe