Modélisation de systèmes chaotiques fractionnaires non linéaires à ordre variable en utilisant l’opérateur de Caputo–Fabrizio et des réseaux de neurones à fonctions de base radiales

Pourquoi les systèmes imprévisibles comptent

De la météo et des marchés financiers à l’activité cérébrale et à la lumière laser, de nombreux systèmes naturels et technologiques se comportent de manière apparemment aléatoire mais obéissent en réalité à des règles strictes. Ce comportement est connu sous le nom de chaos. L’article explore une nouvelle méthode pour modéliser ces systèmes chaotiques quand ils possèdent une sorte de « mémoire » du passé, et montre comment un type spécialisé de réseau de neurones peut apprendre et prédire leurs mouvements tumultueux avec une précision remarquable. Comprendre et maîtriser ce type de comportement peut améliorer les communications sécurisées, le génie du contrôle et le traitement du signal.

Ajouter de la mémoire au chaos

Les modèles mathématiques classiques du chaos utilisent des équations différentielles ordinaires qui considèrent l’avenir comme ne dépendant que de l’état présent. En réalité, de nombreux systèmes se souviennent de ce qui s’est passé auparavant : un matériau ayant subi des contraintes, un composant électronique qui a vieilli, ou un rythme biologique façonné par des cycles passés. Pour rendre compte de cela, les chercheurs utilisent le calcul « fractionnaire », qui permet d’ajuster continûment l’intensité de cette mémoire entre absence de mémoire et mémoire longue. Cet article va plus loin en laissant cette intensité de mémoire varier dans le temps au lieu de rester fixe, créant ainsi ce que l’on appelle des systèmes chaotiques à ordre variable. De tels modèles reflètent mieux les situations où la mémoire se construit progressivement, s’estompe ou oscille.

Une manière plus douce de décrire la mémoire

Les auteurs choisissent un outil mathématique particulier, l’opérateur de Caputo–Fabrizio, pour exprimer cette mémoire changeante. Contrairement à certaines formulations traditionnelles qui impliquent des noyaux singuliers et raides et peuvent poser des problèmes numériques, cet opérateur utilise un noyau exponentiel lisse. Cela rend les équations plus simples et plus stables à résoudre sur ordinateur, en particulier pour les systèmes où la mémoire d’ordre court à moyen terme est importante. L’équipe compare ce choix à d’autres opérateurs populaires et constate que, pour leurs objectifs, Caputo–Fabrizio trouve un bon compromis : il conserve les effets fondamentaux de mémoire qui façonnent le mouvement chaotique tout en réduisant le coût de calcul et en évitant la raideur qui peut faire échouer les simulations.

Deux manières dont un système peut se souvenir

Pour voir comment la mémoire variable affecte le chaos, les chercheurs étudient un système dynamique à trois variables dont les trajectoires dessinent des formes en boucle, semblables à des papillons, dans l’espace. Ils testent deux scénarios pour l’évolution de l’intensité de la mémoire. Dans le premier, la mémoire se renforce progressivement au fil du temps, imitant des dispositifs ou circuits qui deviennent plus dépendants de leur histoire en vieillissant. Dans le second, la mémoire fluctue de manière périodique, évoquant des processus biologiques rythmiques ou des mécanismes de rétroaction. Pour chaque cas, ils simulent le système sur de longues durées, examinent la répartition des valeurs des trois variables, reconstruisent la structure géométrique cachée du mouvement dans l’« espace des phases », et calculent les exposants de Lyapunov qui mesurent la sensibilité à la divergence des trajectoires proches. Ils constatent qu’une mémoire plus forte intensifie généralement le comportement chaotique, tandis qu’une mémoire plus faible l’atténue, révélant un lien étroit entre histoire et instabilité.

Apprendre à un réseau de neurones à suivre le chaos

Résoudre directement ces équations riches en mémoire peut être exigeant, aussi les auteurs recourent-ils à une approche d’intelligence artificielle. Ils utilisent des réseaux de neurones à fonctions de base radiales, un type de réseau particulièrement adapté à l’ajustement de fonctions lisses et non linéaires. En utilisant des séries temporelles simulées issues de leur système fractionnaire à ordre variable comme données d’entraînement, ils configurent des réseaux avec des milliers d’unités cachées et les entraînent à reproduire les trois variables d’état du système. Des choix de conception soigneux — la manière de fixer les centres et les largeurs des fonctions radiales, la répartition des données entre entraînement et test, et la mesure de l’erreur — permettent aux réseaux d’approximer les trajectoires chaotiques avec des écarts extrêmement faibles, proches des limites de la précision numérique.

Ce que cela signifie pour les applications réelles

L’étude montre que permettre à la mémoire d’un système chaotique de changer dans le temps produit des modèles qui imitent de manière plus fidèle les comportements complexes du monde réel que les équations traditionnelles à ordre constant ou sans mémoire. Parallèlement, l’utilisation de réseaux de neurones à fonctions de base radiales transforme ces descriptions mathématiques lourdes en substituts efficaces pilotés par les données et rapides à évaluer. Pour un non-spécialiste, l’idée principale est que les chercheurs ont construit une boîte à outils flexible et précise pour décrire et prédire des signaux erratiques dépendant de leur histoire passée. De tels outils pourraient, en fin de compte, faciliter la conception de schémas de communication sécurisés, de stratégies de contrôle robustes et de méthodes avancées de traitement du signal qui tirent pleinement parti du chaos au lieu d’en être victimes.

Citation: Sawar, S., Ayaz, M., Aldhabani, M.S. et al. Modeling nonlinear variable-order fractional chaotic systems using the Caputo-Fabrizio operator and radial basis function neural networks. Sci Rep 16, 7912 (2026). https://doi.org/10.1038/s41598-026-39288-8

Mots-clés: systèmes chaotiques, calcul fractionnaire, dynamique à ordre variable, réseaux de neurones, modélisation non linéaire