Modelado de sistemas caóticos no lineales de orden fraccionario variable usando el operador de Caputo-Fabrizio y redes neuronales de funciones de base radial

Por qué importan los sistemas impredecibles

Desde el tiempo y la bolsa hasta la actividad cerebral y la luz láser, muchos sistemas en la naturaleza y la tecnología se comportan de forma que parece aleatoria pero que en realidad está regida por reglas estrictas. A este comportamiento se lo conoce como caos. El artículo explora una nueva manera de modelar esos sistemas caóticos cuando poseen una especie de «memoria» del pasado, y muestra cómo un tipo especializado de red neuronal puede aprender y predecir sus movimientos erráticos con notable precisión. Comprender y domar este tipo de comportamiento puede mejorar las comunicaciones seguras, la ingeniería de control y el procesamiento de señales.

Añadiendo memoria al caos

Los modelos matemáticos clásicos del caos usan ecuaciones diferenciales ordinarias que tratan el futuro como dependiente solo del estado presente. En realidad, muchos sistemas recuerdan lo que ocurrió antes: un material que ha sido sometido a tensión, un componente electrónico que ha envejecido o un ritmo biológico moldeado por ciclos pasados. Para captar esto, los investigadores usan cálculo «fraccionario», que permite ajustar continuamente la intensidad de esa memoria entre ausencia de memoria y memoria prolongada. Este trabajo va un paso más allá al permitir que esa intensidad de memoria varíe en el tiempo en lugar de permanecer fija, creando lo que se denomina sistemas caóticos de orden variable. Tales modelos reflejan mejor situaciones en las que la memoria se acumula, se atenúa o oscila con el tiempo.

Una forma más suave de describir la memoria

Los autores eligen una herramienta matemática concreta, el operador de Caputo–Fabrizio, para expresar esta memoria cambiante. A diferencia de algunas formulaciones tradicionales que implican núcleos singulares y bruscos y que pueden provocar problemas numéricos, este operador utiliza un núcleo exponencial suave. Eso facilita y estabiliza la resolución de las ecuaciones en un ordenador, especialmente para sistemas en los que la memoria a corto o medio plazo es importante. El equipo compara esta elección con otros operadores populares y encuentra que, para sus fines, Caputo–Fabrizio logra un equilibrio: conserva los efectos esenciales de memoria que configuran el movimiento caótico a la vez que reduce el coste computacional y evita la rigidez que puede descarrilar las simulaciones.

Dos maneras en que un sistema puede recordar

Para ver cómo la memoria cambiante afecta al caos, los investigadores estudian un sistema dinámico de tres variables cuyas trayectorias trazan formas anudadas y parecidas a mariposas en el espacio. Prueban dos escenarios sobre cómo evoluciona la intensidad de la memoria. En el primero, la memoria se refuerza gradualmente con el tiempo, emulando dispositivos o circuitos que se vuelven más dependientes de la historia conforme envejecen. En el segundo, la memoria fluctúa periódicamente, evocando procesos biológicos rítmicos o retroalimentados. Para cada caso simulan el sistema a lo largo de un periodo largo, examinan la distribución de valores de las tres variables, reconstruyen la estructura geométrica oculta del movimiento en el «espacio de fases» y calculan exponentes de Lyapunov que miden cuán sensibles son las trayectorias cercanas a divergir. Encuentran que una memoria más intensa generalmente intensifica el comportamiento caótico, mientras que una memoria más débil lo atenúa, revelando un vínculo estrecho entre la historia y la inestabilidad.

Enseñar a una red neuronal a seguir el caos

Resolver estas ecuaciones ricas en memoria de forma directa puede ser exigente, por lo que los autores recurren a un enfoque de inteligencia artificial. Emplean redes neuronales de funciones de base radial, un tipo de red particularmente adecuado para ajustar funciones suaves y no lineales. Usando series temporales simuladas de su sistema fraccionario de orden variable como datos de entrenamiento, configuran redes con miles de unidades ocultas y las entrenan para reproducir las tres variables de estado del sistema. Decisiones de diseño cuidadosas —cómo se fijan los centros y anchos de las funciones radiales, cómo se divide los datos entre entrenamiento y prueba y cómo se mide el error— permiten a las redes aproximar las trayectorias caóticas con discrepancias extremadamente pequeñas, hasta niveles de error cercanos a los límites de la precisión numérica.

Qué significa esto para aplicaciones reales

El estudio demuestra que permitir que la memoria de un sistema caótico cambie con el tiempo genera modelos que imitan más fielmente el comportamiento complejo del mundo real que las ecuaciones tradicionales de orden constante o sin memoria. Al mismo tiempo, el uso de redes neuronales de funciones de base radial convierte estas descripciones matemáticas pesadas en sustitutos eficientes basados en datos que pueden evaluarse rápidamente. Para un no especialista, la conclusión principal es que los investigadores han desarrollado un kit de herramientas flexible y preciso para describir y predecir señales erráticas que dependen de su historia pasada. Tales herramientas podrían, en última instancia, facilitar el diseño de esquemas de comunicación seguros, estrategias de control robustas y métodos avanzados de procesamiento de señales que aprovechen por completo, en lugar de sucumbir ante, el caos.

Cita: Sawar, S., Ayaz, M., Aldhabani, M.S. et al. Modeling nonlinear variable-order fractional chaotic systems using the Caputo-Fabrizio operator and radial basis function neural networks. Sci Rep 16, 7912 (2026). https://doi.org/10.1038/s41598-026-39288-8

Palabras clave: sistemas caóticos, cálculo fraccionario, dinámica de orden variable, redes neuronales, modelado no lineal