نمذجة الأنظمة الفوضوية الكسرية غير الخطية ذات الرتبة المتغيرة باستخدام عامل كابوتو-فابريزيو وشبكات عصبية ذات دوال أساس كروية

لماذا تهم الأنظمة غير المتوقعة

من الطقس وسوق الأسهم إلى نشاط الدماغ وضوء الليزر، تتصرف العديد من الأنظمة في الطبيعة والتقنية بطرق تبدو عشوائية لكنها تخضع فعليًا لقواعد صارمة. يعرف هذا السلوك بالفوضى. تستكشف المقالة نهجًا جديدًا لنمذجة مثل هذه الأنظمة الفوضوية عندما تمتلك نوعًا من "الذاكرة" للماضي، وتوضح كيف يمكن لنوع متخصص من الشبكات العصبية أن يتعلم ويتنبأ بحركاتها المتقلبة بدقة ملحوظة. فهم هذا السلوك والتحكم فيه يمكن أن يحسّن الاتصالات الآمنة، وهندسة التحكم، ومعالجة الإشارات.

إضافة الذاكرة إلى الفوضى

تستخدم النماذج الرياضية الكلاسيكية للفوضى معادلات تفاضلية عادية تعامل المستقبل باعتباره تابعًا للحالة الحالية فقط. في الواقع، تتذكر العديد من الأنظمة ما حدث سابقًا: مادة تعرضت لإجهاد، أو مكوّن إلكتروني تقدّم به العمر، أو إيقاع بيولوجي تشكّل بفعل دورات سابقة. لالتقاط هذا، يستخدم الباحثون حسابًا كسريًا يسمح بضبط قوة هذه الذاكرة بشكل مستمر بين عدم وجود ذاكرة وذاكرة طويلة الأمد. يذهب هذا البحث خطوة أبعد بجعل قوة الذاكرة تتغير مع الزمن بدلًا من أن تبقى ثابتة، فتنشأ نماذج تُسمى أنظمة فوضوية ذات رتبة متغيرة. تعكس مثل هذه النماذج بشكل أفضل الحالات التي تتراكم فيها الذاكرة تدريجيًا أو تتلاشى أو تتذبذب.

طريقة أكثر سلاسة لوصف الذاكرة

اختار المؤلفون أداة رياضية محددة، وهي عامل كابوتو–فابريزيو، للتعبير عن هذه الذاكرة المتغيرة. على خلاف بعض الصيغ التقليدية التي تتضمن نوى مفردية حادة وقد تسبب مشكلات رقمية، يستخدم هذا العامل نواة أسية ناعمة. هذا يجعل المعادلات أسهل وأكثر استقرارًا للحل عدديًا على الحاسوب، لا سيما للأنظمة التي تهمها الذاكرة القصيرة إلى المتوسطة الأمد فقط. يقارن الفريق هذا الاختيار بغيره من العوامل الشائعة ويجد أنه، لأغراضهم، يحقق عامل كابوتو–فابريزيو توازنًا: يحتفظ بتأثيرات الذاكرة الأساسية التي تشكل الحركة الفوضوية مع تقليل التكلفة الحاسوبية وتجنب الصلابة التي قد تعطل المحاكاة.

طريقتان يمكن للنظام أن يتذكر بهما

لدراسة كيف يؤثر تغير الذاكرة على الفوضى، يدرس الباحثون نظامًا ديناميكيًا ثلاثي المتغيرات تتبع مساراته أشكالًا متكررة شبيهة بالفراشة في الفضاء. يختبرون سيناريوهين لتطور قوة الذاكرة. في السيناريو الأول، تقوى الذاكرة تدريجيًا مع الزمن، محاكاة لأجهزة أو دوائر تصبح أكثر اعتمادًا على التاريخ مع تقدم العمر. في السيناريو الثاني، تتقلب الذاكرة بشكل دوري، ما يعكس عمليات بيولوجية إيقاعية أو عمليات تغذية راجعة. لكل حالة يحاكون النظام على مدى زمني طويل، ويفحصون توزيع قيم المتغيرات الثلاثة، ويعيدون بناء البنية الهندسية الخفيّة للحركة في «فضاء الطور»، ويحسبون مؤشرات ليابونوف التي تقيس مدى حساسية التباعد بين المسارات القريبة. يجدون أن الذاكرة الأقوى عمومًا تزيد من حدة السلوك الفوضوي، بينما تخففه الذاكرة الأضعف، كاشفة عن علاقة وثيقة بين التاريخ وعدم الاستقرار.

تعليم شبكة عصبية تتبع الفوضى

قد يكون حل هذه المعادلات الغنية بالذاكرة مباشرة متطلبًا، لذا يتوجه المؤلفون إلى نهج ذكاء اصطناعي. يستخدمون شبكات عصبية ذات دوال أساس كروية، وهو نوع من الشبكات بارع بشكل خاص في ملاءمة الدوال السلسة وغير الخطية. باستخدام سلاسل زمنية محاكاة من نظامهم الكسري ذي الرتبة المتغيرة كبيانات تدريب، يهيئون شبكات تحتوي على آلاف الخلايا المخفية ويدربونها على إعادة إنتاج المتغيرات الحالة الثلاثة للنظام. تتيح اختيارات تصميم دقيقة — كيفية تحديد مراكز وعرض الدوال القاعدية الكروية، وكيفية تقسيم البيانات بين التدريب والاختبار، وكيفية قياس الخطأ — للشبكات تقريب المسارات الفوضوية بفوارق صغيرة جدًا، تصل إلى مستويات خطأ تكاد تلامس حدود الدقة العددية.

ما يعنيه هذا للتطبيقات في العالم الحقيقي

تظهر الدراسة أن السماح لذاكرة نظام فوضوي بالتغير مع الزمن ينتج نماذج تحاكي السلوك المعقد في العالم الحقيقي بشكل أوثق من المعادلات التقليدية ذات الرتبة الثابتة أو الخالية من الذاكرة. وفي الوقت نفسه، يحول استخدام شبكات دوال الأساس الكروية هذه الأوصاف الرياضية الثقيلة إلى نماذج بديلة قائمة على البيانات يمكن تقييمها بسرعة. بالنسبة للقارئ غير المتخصص، الخلاصة الرئيسية أن الباحثين بنوا مجموعة أدوات مرنة ودقيقة لوصف والتنبؤ بالإشارات المتقلبة التي تعتمد على تاريخها. قد تجعل مثل هذه الأدوات في نهاية المطاف تصميم مخططات اتصال آمنة، واستراتيجيات تحكم قوية، وطرق متقدمة لمعالجة الإشارة أسهل، بحيث تستفيد من الفوضى بدلاً من أن تكون ضحية لها.

الاستشهاد: Sawar, S., Ayaz, M., Aldhabani, M.S. et al. Modeling nonlinear variable-order fractional chaotic systems using the Caputo-Fabrizio operator and radial basis function neural networks. Sci Rep 16, 7912 (2026). https://doi.org/10.1038/s41598-026-39288-8

الكلمات المفتاحية: الأنظمة الفوضوية, حساب التفاضل والتكامل الكسري, ديناميكيات ذات رتبة متغيرة, الشبكات العصبية, النمذجة غير الخطية